Machado de Assis

Machado de Assis

EQUAÇÃO DO 1º GRAU COM UMA INCÓGNITA

EQUAÇÃO

Utilizamos uma equação para calcular o valor de um termo desconhecido que será representado por uma letra, cuja representação mais usual se dá por x, y e z. As equações possuem sinais operatórios como, adição, subtração, multiplicação, divisão, radiciação e igualdade. O sinal de igualdade divide a equação em dois membros, os quais são compostos de elementos constituídos por dois tipos:

Elemento de valor constante: representado por valores numéricos.
Elemento de valor variável: representado pela união de números e letras.

Observe exemplos de equações do 1º grau com uma incógnita:

x + 1 = 6
2x + 7 = 18
4x + 1 = 3x – 9
10x + 60 = 12x + 52 
Para resolver uma equação, precisamos conhecer algumas técnicas matemáticas. Vamos, por meio de resoluções comentadas, demonstrar essas técnicas.

Exemplo 1:

4x + 2 = 8 – 2x

Em uma equação, devemos separar os elementos variáveis dos elementos constantes. Para isso, vamos colocar os elementos semelhantes em lados diferentes do sinal de igualdade, invertendo o sinal dos termos que mudarem de lado. Veja:

4x + 2x = 8 – 2

Agora aplicamos as operações indicadas entre os termos semelhantes.

6x = 6

O coeficiente numérico da letra x do 1º membro deve passar para o outro lado, dividindo o elemento pertencente ao 2º membro da equação. Observe:

x = 6 / 6
x = 1

Portanto, o valor de x que satisfaz à equação é igual a 1. A verificação pode ser feita substituindo o valor de x na equação, observe:

4x + 2 = 8 – 2x
4 * 1 + 2 = 8 – 2 * 1
4 + 2 = 8 – 2
6 = 6 → sentença verdadeira
Todas as equações, de uma forma geral, podem ser resolvidas dessa maneira.


Exemplo 2:

10x – 9 = 21 + 2x + 3x
10x – 2x – 3x = 21 + 9
10x – 5x = 30
5x = 30
x = 30/5
x = 6

Verificando:

10x – 9 = 21 + 2x + 3x
10 * 6 – 9 = 21 + 2 * 6 + 3 * 6
60 – 9 = 21 + 12 + 18
51 = 51 → sentença verdadeira

O valor numérico de x que satisfaz à equação é 6.




Exemplo 3:

3x – 2x + 10 = 10 + 5x – 40
3x – 2x – 5x = 10 – 40 – 10
3x – 7x = –40
– 4x = – 40

Nos casos em que a parte da variável se encontra negativa, precisamos multiplicar os membros por –1.


– 4x = – 40 * (–1)
4x = 40
x = 40/4
x = 10


Verificando:
3x – 2x + 10 = 10 + 5x – 40
3 * 10 – 2 * 10 + 10 = 10 + 5 * 10 – 40
30 – 20 + 10 = 10 + 50 – 40
20 = 20 → sentença verdadeira




Exemplo 4: 
10 – (8x – 2) = 5x + 2(– 4x + 1) → aplicar a propriedade distributiva da multiplicação
10 – 8x + 2 = 5x – 8x + 2
– 8x – 5x + 8x = + 2 – 10 – 2
– 13x + 8x = – 10
– 5x = – 10 * (–1)
5x = 10
x = 10/5
x = 2

Verificando:

10 – (8x – 2) = 5x + 2(– 4x + 1)
10 – (8 * 2 – 2) = 5 * 2 + 2(– 4 * 2 + 1)
10 – (16 – 2) = 10 + 2(–8 + 1)
10 – (14) = 10 + 2(–7)
10 – 14 = 10 – 14
– 4 = – 4 → sentença verdadeira

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola

TEOREMA DE TALES

Teorema de Tales

O Teorema de Tales pode ser determinado pela seguinte lei de correspondência:

“Feixes de retas paralelas cortadas ou intersectadas por segmentos transversais formam segmentos de retas proporcionalmente correspondentes”.

Para compreender melhor o teorema observe o esquema representativo a seguir:

Pela proporcionalidade existente no Teorema, temos a seguinte situação:

Aplicando a proporcionalidade existente no Teorema de Tales, determine o valor dos segmentos AB e BC na ilustração a seguir:

AB = 2x – 3
BC = x + 2
A’B’ = 5
B’C’ = 6

Determinando o valor de x:

AB = 2x – 3 → 2*4 – 3 = 5
BC = x + 2 → 4 + 2 = 6

Determine o valor de x na figura a seguir:

Neuroeducação

Você sabe o que é Neuroeducação?

É uma ciência que estuda o aprendizado no cérebro, ou seja, como ele se dada dentro do cérebro.

Há muitos mitos sobre a inteligência, muitos cientistas acreditam que o QI não é uma forma de se medir a inteligência de uma pessoa. Todos podem aprender a qualquer momento, mas ao redor dos três anos o cérebro está em mudança e isso facilita muito o aprendizado. Após os seis anos a criança entende melhor o abstrato e após os doze entende melhor a coisas que exigem lógica.

Para se aprender uma segunda língua é melhor que seja até os oito anos, mas depois também é possível, porém com um pouco só a mais de dificuldade.

Fonte Revista Neuroeducação (Especial) Editora Segmento

Exercícios para 1º ano A – Ensino Médio – Matemática – Profa. Adriana Becker

E.E.Prof. Moacyr Santos de Campos
 

A Calcule os sistemas pelo método da substituição:

1) x - 3y = 1

2x +5y = 13

2) 2x + y = 10

    x + 3y = 15

3) 3x + y = 13

    2x - y = 12

4) 2x + 7y = 17

    5x - y = -13

5) 2x + y = 4

    4x - 3y = 3

6) x + y = 2

  3x + 2y = 6

7) x/2 + y/3 = 3

    x - y = 1

8) x - y =5

    x +y = 7

9) x - y =2

    2x +y = 4

10) x + y =3

    2x +3y = 8

11) x - 3 = 0

  2x - y = 1

12) 3x + y =5

2x +y = 4

13) x = y - 2

2x +y = -1

14) x - y -2 = 0

2x +y – 7= 0

15) x + y = 7

x -y = 1

16) x + y = 6

2x +y = 4

17) 2x + y = 5

x + 2y = 4

18 ) x + y = 11

x - y = 3

19) x - y = 16

x +y = 74

20) x - y = 1

x +y = 9

21) 2x - y = 20

2x +y = 48

22) x + y = 1

x - y = 7

23) x + y = 3

x - y = -5

24) x + y = 5

     x - y = - 5

Bom Trabalho!

POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS AO PLANO

Duas retas distintas contidas em um plano podem ser:

a) retas concorrentes : quando têm um único ponto comum.

b) retas paralelas : quando não têm ponto comum.

INTRODUÇÃO À GEOMETRIA - Ponto, Reta e Plano

INTRODUÇÃO À GEOMETRIA

PONTO, RETA E PLANO

Você já tem idéia intuitiva sobre ponto, reta e plano

Assim:

== Um furo de agulha num papel dá idéia de ponto.
== Uma corda bem esticada dá idéia de reta.
== O quadro-negro da sala de aula dá idéia de plano.

Os ponto, a reta e o plano são conceitos primitivos no estudo da Geometria, isto é, não possuem definição.

FIGURA GEOMÉTRICA

== Toda figura geométrica é um conjunto de pontos.

== Figura geométrica plana é uma figura em que todos os seus pontos estão num mesmo plano

Medida de Ângulo

Boa tarde meus amados alunos e amigos, segue alguns exercícios para fixação sobre medida de um ângulo.

Alguns exercícios de fixação.

1) Escreva simbolicamente:

a) 30 graus

b) 10 graus e 25 minutos

c) 42 graus e 54 minutos

d) 15 graus, 20 minutos e 40 segundos

e) 54 graus, 38 m inutos e 12 segundos

2) Responda:

a) Um grau é igual a quantos minutos?

b) Um minuto é igual a quantos segundos?

c) Um grau é igual a quantos segundos?

3) Transforme :

a) 1º em minutos

b) 2º em minutos

c) 3º em minutos

d) 4º em minutos

e) 5º em minutos

f) 1´ em segundos

g) 2´ em segundos

h) 3´ em segundos

i) 4´ em segundos

j) 5´ em segundos

4) Transforme em minutos, observando o exemplo resolvido:

resolvido = 2º 17´ = 2 x 60´ + 17´ = 137´

a) 5º 7´ =

b) 3º 20´ =

c) 10º 35´ =

d) 12º 18´ =

e) 3º 45´ =

f) 5º 54´ =

g) 7º 12´ =

h) 9º 36´ =

5) Transforme:

120´= 120 : 60 = 2º ===== resolvidos  ==== 120" = 120" : 60 = 2´

a) 180´em graus =

b) 240´em graus =

c) 300´ em graus =

d) 360´em graus  =

e) 180" em minutos =

f) 240" em minutos =

g) 300" em minutos =

h) 360" em minutos =

6) Transforme em graus e minutos:

Resolvido: 75´= 1º 15´  (obs divida os minutos por 60 para obter os graus. O resto , se existir, serão os minutos.)

a) 90´ =

b) 95´=

c) 130´ =

d) 150´ =

e) 385´ =

f) 512´=

g) 867´=

h) 1000´=

7) Transforme em minutos e segundos:

a) 97" =

b) 130" =

c) 150" =

d) 162" = 

e) 185" =

f) 254" = 

8) Copie e complete:

a) 40° = 39°_______

b) 70° = 69 _______

c) 84° = 83° ______

d) 90° = 89° _______

e) 150° = 149° ________

f) 180° = 179° _______

9) Escreva as medidas na forma mais simples:

Resolvildo: 27° 60´ = 28°

a) 29º 60´= (R: 30°)

b) 34° 60´= (R: 35°)

c) 72° 60´= (R: 73°)

d) 99° 60´= (R: 100°)

e) 54° 60´ = (R: 55°)

f)  108° 60´= (R: 109°)

10) Escreva as medidas na forma mais simples:

Resolvido: 39° 75´ = 40° 15´

a) 30° 80´ = (R: 31° 20´)

b) 45° 90´= (R : 46° 30´)

c) 57° 100´= (R: 58° 40´)

d) 73° 110´= (R: 74° 50´)

e) 20° 120´= (R: 22°)

f) 25° 150´= (R: 27° 30´)

g) 42° 160´= (R: 44° 40´)

h) 78° 170´= (R: 80° 50´)

Exemplos de ângulos

Ângulo é a reunião de duas semi-retas de mesma origem e não-colineares.

Na figura

Ângulos

Ângulos

 A relação entre ângulos e círculo é muito importante no estudo da geometria. Diversos assuntos ligados à astronomia possuem relações estreitas com ângulos no círculo ou na circunferência. Podemos ter ângulos com vértice no centro, no interior ou no exterior de um círculo, cada um apresentando características e propriedades diferentes. Vejamos cada um desses casos: 

1. Ângulo com vértice no centro da circunferência – Ângulo central.

Propriedade: o ângulo central apresenta a mesma medida do arco formado por seus lados, ou seja: 

2. Ângulo cujo vértice é um ponto da circunferência – Ângulo Inscrito.

Propriedade: a medida do ângulo inscrito equivale à metade da medida do arco formado por seus lados, ou seja:

Exemplo: Determine o valor de α sabendo que o arco AB mede 60^o.

Solução:

3. Ângulo com vértice exterior à circunferência – Ângulo excêntrico externo.

Propriedade: o ângulo α equivale à metade da diferença entre as medidas dos arcos formados pelos seus lados, ou seja:

Exemplo: Determine o valor de α na figura abaixo.

 

4. Ângulo com vértice no interior da circunferência – Ângulo excêntrico interno.

Propriedade: o ângulo excêntrico interno possui medida igual à metade da soma dos arcos formados pelos seus lados, ou seja:

Exemplo: Determine o valor de α na figura abaixo.

Solução:

Por Marcelo Rigonatto