Machado de Assis

Machado de Assis

EQUAÇÃO DO 1º GRAU COM UMA INCÓGNITA

EQUAÇÃO

Utilizamos uma equação para calcular o valor de um termo desconhecido que será representado por uma letra, cuja representação mais usual se dá por x, y e z. As equações possuem sinais operatórios como, adição, subtração, multiplicação, divisão, radiciação e igualdade. O sinal de igualdade divide a equação em dois membros, os quais são compostos de elementos constituídos por dois tipos:

Elemento de valor constante: representado por valores numéricos.
Elemento de valor variável: representado pela união de números e letras.

Observe exemplos de equações do 1º grau com uma incógnita:

x + 1 = 6
2x + 7 = 18
4x + 1 = 3x – 9
10x + 60 = 12x + 52 
Para resolver uma equação, precisamos conhecer algumas técnicas matemáticas. Vamos, por meio de resoluções comentadas, demonstrar essas técnicas.

Exemplo 1:

4x + 2 = 8 – 2x

Em uma equação, devemos separar os elementos variáveis dos elementos constantes. Para isso, vamos colocar os elementos semelhantes em lados diferentes do sinal de igualdade, invertendo o sinal dos termos que mudarem de lado. Veja:

4x + 2x = 8 – 2

Agora aplicamos as operações indicadas entre os termos semelhantes.

6x = 6

O coeficiente numérico da letra x do 1º membro deve passar para o outro lado, dividindo o elemento pertencente ao 2º membro da equação. Observe:

x = 6 / 6
x = 1

Portanto, o valor de x que satisfaz à equação é igual a 1. A verificação pode ser feita substituindo o valor de x na equação, observe:

4x + 2 = 8 – 2x
4 * 1 + 2 = 8 – 2 * 1
4 + 2 = 8 – 2
6 = 6 → sentença verdadeira
Todas as equações, de uma forma geral, podem ser resolvidas dessa maneira.


Exemplo 2:

10x – 9 = 21 + 2x + 3x
10x – 2x – 3x = 21 + 9
10x – 5x = 30
5x = 30
x = 30/5
x = 6

Verificando:

10x – 9 = 21 + 2x + 3x
10 * 6 – 9 = 21 + 2 * 6 + 3 * 6
60 – 9 = 21 + 12 + 18
51 = 51 → sentença verdadeira

O valor numérico de x que satisfaz à equação é 6.




Exemplo 3:

3x – 2x + 10 = 10 + 5x – 40
3x – 2x – 5x = 10 – 40 – 10
3x – 7x = –40
– 4x = – 40

Nos casos em que a parte da variável se encontra negativa, precisamos multiplicar os membros por –1.


– 4x = – 40 * (–1)
4x = 40
x = 40/4
x = 10


Verificando:
3x – 2x + 10 = 10 + 5x – 40
3 * 10 – 2 * 10 + 10 = 10 + 5 * 10 – 40
30 – 20 + 10 = 10 + 50 – 40
20 = 20 → sentença verdadeira




Exemplo 4: 
10 – (8x – 2) = 5x + 2(– 4x + 1) → aplicar a propriedade distributiva da multiplicação
10 – 8x + 2 = 5x – 8x + 2
– 8x – 5x + 8x = + 2 – 10 – 2
– 13x + 8x = – 10
– 5x = – 10 * (–1)
5x = 10
x = 10/5
x = 2

Verificando:

10 – (8x – 2) = 5x + 2(– 4x + 1)
10 – (8 * 2 – 2) = 5 * 2 + 2(– 4 * 2 + 1)
10 – (16 – 2) = 10 + 2(–8 + 1)
10 – (14) = 10 + 2(–7)
10 – 14 = 10 – 14
– 4 = – 4 → sentença verdadeira

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola

TEOREMA DE TALES

Teorema de Tales

O Teorema de Tales pode ser determinado pela seguinte lei de correspondência:

“Feixes de retas paralelas cortadas ou intersectadas por segmentos transversais formam segmentos de retas proporcionalmente correspondentes”.

Para compreender melhor o teorema observe o esquema representativo a seguir:

Pela proporcionalidade existente no Teorema, temos a seguinte situação:

Aplicando a proporcionalidade existente no Teorema de Tales, determine o valor dos segmentos AB e BC na ilustração a seguir:

AB = 2x – 3
BC = x + 2
A’B’ = 5
B’C’ = 6

Determinando o valor de x:

AB = 2x – 3 → 2*4 – 3 = 5
BC = x + 2 → 4 + 2 = 6

Determine o valor de x na figura a seguir:

Neuroeducação

Você sabe o que é Neuroeducação?

É uma ciência que estuda o aprendizado no cérebro, ou seja, como ele se dada dentro do cérebro.

Há muitos mitos sobre a inteligência, muitos cientistas acreditam que o QI não é uma forma de se medir a inteligência de uma pessoa. Todos podem aprender a qualquer momento, mas ao redor dos três anos o cérebro está em mudança e isso facilita muito o aprendizado. Após os seis anos a criança entende melhor o abstrato e após os doze entende melhor a coisas que exigem lógica.

Para se aprender uma segunda língua é melhor que seja até os oito anos, mas depois também é possível, porém com um pouco só a mais de dificuldade.

Fonte Revista Neuroeducação (Especial) Editora Segmento

Exercícios para 1º ano A – Ensino Médio – Matemática – Profa. Adriana Becker

E.E.Prof. Moacyr Santos de Campos
 

A Calcule os sistemas pelo método da substituição:

1) x - 3y = 1

2x +5y = 13

2) 2x + y = 10

    x + 3y = 15

3) 3x + y = 13

    2x - y = 12

4) 2x + 7y = 17

    5x - y = -13

5) 2x + y = 4

    4x - 3y = 3

6) x + y = 2

  3x + 2y = 6

7) x/2 + y/3 = 3

    x - y = 1

8) x - y =5

    x +y = 7

9) x - y =2

    2x +y = 4

10) x + y =3

    2x +3y = 8

11) x - 3 = 0

  2x - y = 1

12) 3x + y =5

2x +y = 4

13) x = y - 2

2x +y = -1

14) x - y -2 = 0

2x +y – 7= 0

15) x + y = 7

x -y = 1

16) x + y = 6

2x +y = 4

17) 2x + y = 5

x + 2y = 4

18 ) x + y = 11

x - y = 3

19) x - y = 16

x +y = 74

20) x - y = 1

x +y = 9

21) 2x - y = 20

2x +y = 48

22) x + y = 1

x - y = 7

23) x + y = 3

x - y = -5

24) x + y = 5

     x - y = - 5

Bom Trabalho!

POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS AO PLANO

Duas retas distintas contidas em um plano podem ser:

a) retas concorrentes : quando têm um único ponto comum.

b) retas paralelas : quando não têm ponto comum.

INTRODUÇÃO À GEOMETRIA - Ponto, Reta e Plano

INTRODUÇÃO À GEOMETRIA

PONTO, RETA E PLANO

Você já tem idéia intuitiva sobre ponto, reta e plano

Assim:

== Um furo de agulha num papel dá idéia de ponto.
== Uma corda bem esticada dá idéia de reta.
== O quadro-negro da sala de aula dá idéia de plano.

Os ponto, a reta e o plano são conceitos primitivos no estudo da Geometria, isto é, não possuem definição.

FIGURA GEOMÉTRICA

== Toda figura geométrica é um conjunto de pontos.

== Figura geométrica plana é uma figura em que todos os seus pontos estão num mesmo plano

Medida de Ângulo

Boa tarde meus amados alunos e amigos, segue alguns exercícios para fixação sobre medida de um ângulo.

Alguns exercícios de fixação.

1) Escreva simbolicamente:

a) 30 graus

b) 10 graus e 25 minutos

c) 42 graus e 54 minutos

d) 15 graus, 20 minutos e 40 segundos

e) 54 graus, 38 m inutos e 12 segundos

2) Responda:

a) Um grau é igual a quantos minutos?

b) Um minuto é igual a quantos segundos?

c) Um grau é igual a quantos segundos?

3) Transforme :

a) 1º em minutos

b) 2º em minutos

c) 3º em minutos

d) 4º em minutos

e) 5º em minutos

f) 1´ em segundos

g) 2´ em segundos

h) 3´ em segundos

i) 4´ em segundos

j) 5´ em segundos

4) Transforme em minutos, observando o exemplo resolvido:

resolvido = 2º 17´ = 2 x 60´ + 17´ = 137´

a) 5º 7´ =

b) 3º 20´ =

c) 10º 35´ =

d) 12º 18´ =

e) 3º 45´ =

f) 5º 54´ =

g) 7º 12´ =

h) 9º 36´ =

5) Transforme:

120´= 120 : 60 = 2º ===== resolvidos  ==== 120" = 120" : 60 = 2´

a) 180´em graus =

b) 240´em graus =

c) 300´ em graus =

d) 360´em graus  =

e) 180" em minutos =

f) 240" em minutos =

g) 300" em minutos =

h) 360" em minutos =

6) Transforme em graus e minutos:

Resolvido: 75´= 1º 15´  (obs divida os minutos por 60 para obter os graus. O resto , se existir, serão os minutos.)

a) 90´ =

b) 95´=

c) 130´ =

d) 150´ =

e) 385´ =

f) 512´=

g) 867´=

h) 1000´=

7) Transforme em minutos e segundos:

a) 97" =

b) 130" =

c) 150" =

d) 162" = 

e) 185" =

f) 254" = 

8) Copie e complete:

a) 40° = 39°_______

b) 70° = 69 _______

c) 84° = 83° ______

d) 90° = 89° _______

e) 150° = 149° ________

f) 180° = 179° _______

9) Escreva as medidas na forma mais simples:

Resolvildo: 27° 60´ = 28°

a) 29º 60´= (R: 30°)

b) 34° 60´= (R: 35°)

c) 72° 60´= (R: 73°)

d) 99° 60´= (R: 100°)

e) 54° 60´ = (R: 55°)

f)  108° 60´= (R: 109°)

10) Escreva as medidas na forma mais simples:

Resolvido: 39° 75´ = 40° 15´

a) 30° 80´ = (R: 31° 20´)

b) 45° 90´= (R : 46° 30´)

c) 57° 100´= (R: 58° 40´)

d) 73° 110´= (R: 74° 50´)

e) 20° 120´= (R: 22°)

f) 25° 150´= (R: 27° 30´)

g) 42° 160´= (R: 44° 40´)

h) 78° 170´= (R: 80° 50´)

Exemplos de ângulos

Ângulo é a reunião de duas semi-retas de mesma origem e não-colineares.

Na figura

Ângulos

Ângulos

 A relação entre ângulos e círculo é muito importante no estudo da geometria. Diversos assuntos ligados à astronomia possuem relações estreitas com ângulos no círculo ou na circunferência. Podemos ter ângulos com vértice no centro, no interior ou no exterior de um círculo, cada um apresentando características e propriedades diferentes. Vejamos cada um desses casos: 

1. Ângulo com vértice no centro da circunferência – Ângulo central.

Propriedade: o ângulo central apresenta a mesma medida do arco formado por seus lados, ou seja: 

2. Ângulo cujo vértice é um ponto da circunferência – Ângulo Inscrito.

Propriedade: a medida do ângulo inscrito equivale à metade da medida do arco formado por seus lados, ou seja:

Exemplo: Determine o valor de α sabendo que o arco AB mede 60^o.

Solução:

3. Ângulo com vértice exterior à circunferência – Ângulo excêntrico externo.

Propriedade: o ângulo α equivale à metade da diferença entre as medidas dos arcos formados pelos seus lados, ou seja:

Exemplo: Determine o valor de α na figura abaixo.

 

4. Ângulo com vértice no interior da circunferência – Ângulo excêntrico interno.

Propriedade: o ângulo excêntrico interno possui medida igual à metade da soma dos arcos formados pelos seus lados, ou seja:

Exemplo: Determine o valor de α na figura abaixo.

Solução:

Por Marcelo Rigonatto

Um pouco sobre história da Matemática

 Matemática é utilizada desde a Pré-história, os pastores não tinham conhecimento de números, algarismos, mas associavam a quantidade de pedras com a quantidade de seu rebanho ou marcavam em pedaços de madeira. Com o passar do tempo, devido à evolução do homem, foram surgindo novas necessidades, a matemática foi tomando forma e se tornando cada dia mais importante para a sobrevivência do homem.

Vários estudiosos defenderam e provaram idéias, postulados, teoremas, dividindo a matemática em partes para facilitar o seu entendimento:

Álgebra I

Trigonometria

Geometria

Álgebra II

A matemática está presente no cotidiano de todos nós. Aplicamos os nossos conhecimentos matemáticos a todo o momento sem muitas vezes perceber. 

Período: aproximadamente 3500 a.C.

Assuntos matemáticos envolvidos:

• Álgebra: sistema de agrupamentos simples; sistema de numeração posicionais;

A numeração escrita nasceu, nas épocas mais primitivas, do desejo de manter registros de gado ou outros bens, com marcas ou traços em paus, pedras, etc., aplicando o princípio da correspondência biunívoca.

Os sistemas de escrita numérica mais antigos que se conhecem são os dos egípcios e dos babilônios, que datam aproximadamente do ano 3500 a.C..

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Os egípcio usavam um sistema de agrupamento simples, com base 10.

Um exemplo, de um número escrito em símbolos egípcios é dado abaixo:

Escrevemos esse número da esquerda para a direita, embora os egípcios escrevessem em uma ou outra direção, dependendo do documento.

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Os babilônios usavam um sistema posicional que, em alguns aspectos era semelhante ao dos egípcios. Algumas inscrições mostram que, surpreendentemente, eles usavam não somente um sistema decimal mas também um sistema sexagesimal ( isto é, base 60).

Usavam um traço vertical para representar as unidades e outro desenho para as dezenas:

No sistema decimal, os números de 1 a 99 eram representados por agrupamentos destes símbolos, por exemplo,

O símbolo para 100 era composto por traços: 

e números superiores a 100, representados novamente por agrupamento. Assim, por exemplo, temos:

O símbolo  indica 10 vezes 100, isto é, 1000.

Também empregavam, em algumas tabuletas, o sistema sexagesimal. Os números de 1 a 59 eram representados novamente por agrupamento simples e a partir dali, se escreviam "grupos de cunhas", com base 60. Por exemplo,

Os babilônios chegaram a empregar um símbolo, formado por duas cunhas inclinadas, para representar a ausência de um grupo. Por exemplo,

Como este símbolo não era de uso freqüente, e ainda, nunca foi usado no fim de uma expressão, o sistema babilônio apresentava ambigüidades. Por exemplo,

poderia representar o número  , etc.

Nosso sistema de numeração indo-arábico é um sistema de numeração posicional de base 10. Ele é preciso e não apresenta ambigüidades, justamente porque temos o símbolo 0 (zero) para representar ausência de uma casa.

A base de numeração 10 é o sistema usado quase que universalmente pelo fato de termos dez dedos disponíveis nas mãos para nos auxiliar nos cálculos.

Alterado em: 21/10/2000 

Texto de: Valéria Ostete Jannis Luchetta; supervisão e orientação: prof. Doutor Francisco César Polcino Milies 

Bibliografia:

• Cajori, Florian, A History of Mathematical Notations, Dover Publications, INC, New York, 1993.